第1問
東進 過去問データベースより引用問題正の整数\(\displaystyle n\)に対し、関数\(\displaystyle f(x)\)を
\begin{eqnarray} f(x) &=& x^{3}-4x^{2}-2^{n}x+8 \end{eqnarray}
と定義する。\(\displaystyle x\)についての方程式\(\displaystyle f(x)=0\)が3つの実数解\(\displaystyle α, β, γ(α<β<γ)\)
をもち、そのうちの1つが負の整数であるとする。次の問いに答えよ。
(1)
正の整数\(\displaystyle n,\)および\(\displaystyle α, β, γ\)を求めよ。
3次方程式は、まず無作為に数字を当てはめてみる！
1つの解は負の整数なので、\(\displaystyle -1\)から当てはめてみる！
\(\displaystyle x=-1\)のとき、
\begin{eqnarray} f(-1) &=& (-1)^{3}-4・(-1)^{2}-2^{n}・(-1)+8 \\ &=& -1-4+2^{n}+8 \\ &=& 3+2^{n} \end{eqnarray}
\(\displaystyle f(-1)=0\)より、
\begin{eqnarray} 3+2^{n} = 0 \\ {\color{red}{2^{n} = -3}} \end{eqnarray}
上を満たす正の整数\(\displaystyle n\)はないので、不適
\(\displaystyle x=-2\)のとき、
\begin{eqnarray} f(-2) &=& (-2)^{3}-4・(-2)^{2}-2^{n}・(-2)+8 \\ &=& -8-4・4-2^{n}・(-2)+8 \\ &=& -16-2^{n}・(-2) \\ &=& -16+2^{n+1} \end{eqnarray}
\(\displaystyle f(-2)=0\)より、
\begin{eqnarray} -16+2^{n+1} = 0 \\ {\color{red}{2^{n+1} = 16}}\end{eqnarray}
上を満たす正の整数\(\displaystyle {\color{red}{n = 3}} \)なので、解の1つは\(\displaystyle {\color{red}{-2}}\)である！
無作為に当てはめた適当解を使って、3次方程式を因数分解する！
\(\displaystyle n = 3 \)のとき、\(\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}-8x+8 \)なので、
\begin{eqnarray} x^{3}-4x^{2}-8x+8 = 0 \\ {\color{red}{(x+2)}}(x^{2}-6x+4) = 0 \\ x=-2, 3\pm\sqrt{5} \end{eqnarray}
\(\displaystyle α<β<γ\)なので、\(\displaystyle {\color{red}{α=-2}}, {\color{red}{β=3-\sqrt{5}}}, {\color{red}{γ=3+\sqrt{5}}}\)
\(\displaystyle n={\color{red}{3}}\) \(\displaystyle α={\color{red}{-2}}\) \(\displaystyle β={\color{red}{3-\sqrt{5}}}\) \(\displaystyle γ={\color{red}{3+\sqrt{5}}}\)
(2)
\(\displaystyle \int_β^γ f(x) dx\)を求めよ。
(1)の解答より、
\begin{eqnarray} \int_β^γ f(x) dx &=& \int_β^γ (x^{3}-4x^{2}-8x+8) dx \\ &=& \large\begin{bmatrix}\frac{1}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}-4x^{2}+8x\end{bmatrix}_β^γ \\ &=& \large\begin{pmatrix}\frac{1}{4}γ^{4}-\frac{4}{3}γ^{3}-4γ^{2}+8γ\end{pmatrix}-\large\begin{pmatrix}\frac{1}{4}β^{4}-\frac{4}{3}β^{3}-4β^{2}+8β\end{pmatrix} \\ &=& \frac{1}{4}(γ^{4}-β^{4})-\frac{4}{3}(γ^{3}-β^{3})-4(γ^{2}-β^{2})+8(γ-β) \\ &=& \frac{1}{4}(γ^{2}+β^{2})(γ+β)(γ-β)-\frac{4}{3}(γ-β)(γ^{2}+γβ+β^{2})-4(γ+β)(γ-β) \\ &+&8(γ-β) \end{eqnarray}
\(\displaystyle {\color{red}{γ+β}}=6\) \(\displaystyle {\color{red}{γ-β}}=2\sqrt{5}\) \(\displaystyle {\color{red}{γβ}}=4\)
上記より、\(\displaystyle {\color{red}{γ^{2}+β^{2}}}=(γ+β)^{2}-2γβ=28\)
よって、
\begin{eqnarray} \int_β^γ f(x) dx &=& \frac{1}{4}(γ^{2}+β^{2})(γ+β)(γ-β)-\frac{4}{3}(γ-β)(γ^{2}+γβ+β^{2})-4(γ+β)(γ-β) \\ &+&8(γ-β) \\ &=& \frac{1}{4}・28・6・2\sqrt{5}-\frac{4}{3}・2\sqrt{5}・(28+4)-4・6・2\sqrt{5}+8・2\sqrt{5} \\ &=& 84\sqrt{5}-\frac{256}{3}\sqrt{5}-48\sqrt{5}+16\sqrt{5} \\ &=& {\color{red}{-\frac{100}{3}\sqrt{5}}}\end{eqnarray}
\(\displaystyle \int_β^γ f(x) dx={\color{red}{-\frac{100}{3}\sqrt{5}}}\)
