【2024｜過去問解説】横浜国立大学　経済学部　数学第1問

第1問

問題

正の整数${\displaystyle n}$に対し、関数${\displaystyle f(x)}$を

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& x^3-4x^2-2^{n}x+8\end{array}$$

と定義する。${\displaystyle x}$についての方程式${\displaystyle f(x)=0}$が3つの実数解${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma (\alpha <\beta <\gamma )}$

をもち、そのうちの1つが負の整数であるとする。次の問いに答えよ。

東進　過去問データベースより引用

(1)

1つの解は負の整数なので、${\displaystyle -1}$から当てはめてみる！

${\displaystyle x=-1}$のとき、

$$\begin{array}{rcl}f(-1)& =& (-1{)}^3-4\mathrm{・}(-1{)}^2-2^n\mathrm{・}(-1)+8\\ & =& -1-4+2^n+8\\ & =& 3+2^n\end{array}$$

${\displaystyle f(-1)=0}$より、

$$\begin{array}{r}3+2^n=0\\ 2^n=-3\end{array}$$

上を満たす正の整数${\displaystyle n}$はないので、不適

${\displaystyle x=-2}$のとき、

$$\begin{array}{rcl}f(-2)& =& (-2{)}^3-4\mathrm{・}(-2{)}^2-2^n\mathrm{・}(-2)+8\\ & =& -8-4\mathrm{・}4-2^n\mathrm{・}(-2)+8\\ & =& -16-2^n\mathrm{・}(-2)\\ & =& -16+2^{n+1}\end{array}$$

${\displaystyle f(-2)=0}$より、

$$\begin{array}{r}-16+2^{n+1}=0\\ 2^{n+1}=16\end{array}$$

上を満たす正の整数${\displaystyle n=3}$なので、解の1つは${\displaystyle -2}$である！

${\displaystyle n=3}$のとき、${\displaystyle f(x)=x^3-4x^2-8x+8}$なので、

$$\begin{array}{r}{x}^3-4x^2-8x+8=0\\ (x+2)(x^2-6x+4)=0\\ x=-2,3\pm \sqrt{5}\end{array}$$

${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma }$なので、${\displaystyle \alpha =-2,\beta =3-\sqrt{5},\gamma =3+\sqrt{5}}$

(2)

(1)の解答より、

$$\begin{array}{rcl}{\int }_{\beta }^{\gamma }f(x)dx& =& {\int }_{\beta }^{\gamma }(x^3-4x^2-8x+8)dx\\ & =& {\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}^4-\frac{4}{3}{x}^3-4x^2+8x\end{array}\right]}_{\beta }^{\gamma }\\ & =& \left(\begin{array}{c}\frac{1}{4}{\gamma }^4-\frac{4}{3}{\gamma }^3-4{\gamma }^2+8\gamma \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{1}{4}{\beta }^4-\frac{4}{3}{\beta }^3-4{\beta }^2+8\beta \end{array}\right)\\ & =& \frac{1}{4}({\gamma }^4-{\beta }^4)-\frac{4}{3}({\gamma }^3-{\beta }^3)-4({\gamma }^2-{\beta }^2)+8(\gamma -\beta )\\ & =& \frac{1}{4}({\gamma }^2+{\beta }^2)(\gamma +\beta )(\gamma -\beta )-\frac{4}{3}(\gamma -\beta )({\gamma }^2+\gamma \beta +{\beta }^2)-4(\gamma +\beta )(\gamma -\beta )\\ & +& 8(\gamma -\beta )\end{array}$$

上記より、${\displaystyle {\gamma }^2+{\beta }^2=(\gamma +\beta {)}^2-2\gamma \beta =28}$

よって、

$$\begin{array}{rcl}{\int }_{\beta }^{\gamma }f(x)dx& =& \frac{1}{4}({\gamma }^2+{\beta }^2)(\gamma +\beta )(\gamma -\beta )-\frac{4}{3}(\gamma -\beta )({\gamma }^2+\gamma \beta +{\beta }^2)-4(\gamma +\beta )(\gamma -\beta )\\ & +& 8(\gamma -\beta )\\ & =& \frac{1}{4}\mathrm{・}28\mathrm{・}6\mathrm{・}2\sqrt{5}-\frac{4}{3}\mathrm{・}2\sqrt{5}\mathrm{・}(28+4)-4\mathrm{・}6\mathrm{・}2\sqrt{5}+8\mathrm{・}2\sqrt{5}\\ & =& 84\sqrt{5}-\frac{256}{3}\sqrt{5}-48\sqrt{5}+16\sqrt{5}\\ & =& -\frac{100}{3}\sqrt{5}\end{array}$$