3乗の展開・因数分解は、値そのものを覚えておくと良いです！
\begin{eqnarray} {\color{red}{(a+b)^{3}}}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} {\color{red}{(a-b)^{3}}}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} {\color{red}{(a+b+c)^{3}}}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2})+6abc \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} {\color{red}{a^{3}+b^{3}}}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} {\color{red}{a^{3}-b^{3}}}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} {\color{red}{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) \end{eqnarray}
ただ、そうは言っても、全部覚えるのは大変かと思います！
そこで、今回は「忘れた時の公式の導出の仕方」と「実際の問題における使い方」をご紹介します！
公式の導出
展開の導出
1つ目の式のポイントは、a+bの項を作ること！
\begin{eqnarray} (a+b)^{3} &=& ({\color{red}{a+b}})(a+b)^{2} \\ &=& (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2}) \\ &=& a・a^{2}+a・2ab+a・b^{2}+b・a^{2}+b・2ab+b・b^{2} \\ &=& a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3} \\ &=& a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} \end{eqnarray}
\((a-b)^{3}\)は、\((a+b)^{3}\)のbを-bに置き換えるだけです！
\begin{eqnarray} (a-b)^{3} &=& a^{3}+3a^{2}({\color{red}{-b}})+3a({\color{red}{-b}})^{2}+({\color{red}{-b}})^{3} \\ &=& a^{3}{\color{red}{-}}3a^{2}b+3ab^{2}{\color{red}{-}}b^{3} \end{eqnarray}
\((a+b+c)^{3}\)は、b+cを1つの文字と置いて考える！
ここでは、b+c=Xとします。
\begin{eqnarray} (a+b+c)^{3} &=& (a+{\color{red}{X}})^{3} \\ &=& a^{3}+3a^{2}{\color{red}{X}}+3a{\color{red}{X}}^{2}+{\color{red}{X}}^{3} \\ &=& a^{3}+3a^{2}({\color{red}{b+c}})+3a({\color{red}{b+c}})^{2}+({\color{red}{b+c}})^{3} \\ &=& a^{3}+3a^{2}(b+c)+3a(b^{2}+2bc+c^{2})+(b^{3}+3b^{2}c+3bc^{2}+c^{3}) \\ &=& a^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+6abc+3ac^{2}+b^{3}+3b^{2}c+3bc^{2}+c^{3} \\ &=& a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2})+6abc\end{eqnarray}
因数分解の導出
因数分解でも、a+bの項を作ること！
\begin{eqnarray} a^{3}+b^{3} &=& ({\color{red}{a+b}})^{3}-3a^{2}b-3ab^{2} \\ &=& ({\color{red}{a+b}})^{3}-3ab({\color{red}{a+b}}) \\ &=& ({\color{red}{a+b}})\{(a+b)^{2}-3ab\} \\ &=& (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2}-3ab) \\ &=& (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\end{eqnarray}
展開の時と同じく、\(a^{3}-b^{3}\)は上の式のbを-bに置き換えるだけです！
\begin{eqnarray} a^{3}-b^{3} &=& (a{\color{red}{-b}})(a^{2}-a({\color{red}{-b}})+({\color{red}{-b}})^{2}) \\ &=& (a{\color{red}{-}}b)(a^{2}{\color{red}{+}}ab+b^{2}) \end{eqnarray}
3つ目の式のポイントは、a+b+cの項を作ること！
\begin{eqnarray} (a+b+c)^{2} &=& a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc &=& ({\color{red}{a+b+c}})^{3}-3(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2})-9abc \\ &=& (a+b+c)^{3}-3(a^{2}b+ab^{2}){\color{red}{-3abc}}-3(b^{2}c+bc^{2}){\color{red}{-3abc}} \\ &-& 3(c^{2}a+ca^{2}){\color{red}{-3abc}} \\ &=& ({\color{red}{a+b+c}})^{3}-3(a^{2}b+ab^{2}+abc)-3(b^{2}c+bc^{2}+abc) \\ &-& 3(c^{2}a+ca^{2}+abc) \\ &=& ({\color{red}{a+b+c}})^{3}-3ab({\color{red}{a+b+c}})-3bc({\color{red}{a+b+c}})-3ca({\color{red}{a+b+c}}) \\ &=& ({\color{red}{a+b+c}})\{(a+b+c)^{2}-3ab-3bc-3ca\} \\ &=& (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca) \\ &=& (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\end{eqnarray}
\({\color{red}{9abc}}\)を、3つの\({\color{red}{3abc}}\)に分けることがポイントです！
練習問題
他の累乗の計算
\begin{eqnarray} {\color{red}{(a+b)^{6}}} \end{eqnarray}
6乗→3乗の形に直す！
\begin{eqnarray} (a+b)^{6} &=& \{(a+b)^{2}\}^{{\color{red}{3}}} \\ &=& {\color{red}{(a^{2}+2ab+b^{2})^{3}}} \\ &=& (a^{2})^{3}+(2ab)^{3}+(b^{2})^{3}+3\{(a^{2})^{3}・2ab+a^{2}・(2ab)^{2}+(2ab)^{2}・b^{2}+2ab・(b^{2})^{2} \\ &+& (b^{2})^{2}・a^{2}+b^{2}・(a^{2})^{2}\}+6・a^{2}・2ab・b^{2} \\ &=& a^{6}+8a^{3}b^{3}+b^{6}+3(2a^{7}b+4a^{4}b^{2}+4a^{2}b^{4}+2ab^{5}+a^{2}b^{4}+a^{4}b^{2})+12a^{3}b^{3} \\ &=& 6a^{7}b+a^{6}+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6ab^{5}+b^{6}\end{eqnarray}
ポイントは2つ！
・\({\color{red}{(a+b+c)^{3}}}\)⇒\({\color{red}{(a^{2}+2ab+b^{2})^{3}}}\)に置き換えること！
・書き漏れがないように、aの次数が高い順に解答を書くこと！
累乗×累乗
\begin{eqnarray} {\color{red}{(a+b)^{3}(a-b)^{3}}} \end{eqnarray}
累乗の数が同じ場合は、先に括弧内同士を計算する！
\begin{eqnarray} (a+b)^{3}(a-b)^{3} &=& {\color{red}{(a^{2}-b^{2})^{3}}} \\ &=& (a^{2})^{3}-3・(a^{2})^{2}・b^{2}+3・a^{2}・(b^{2})^{2}-(b^{2})^{3} \\ &=& a^{6}-3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4}-b^{6}\end{eqnarray}
ポイントは2つ！
・\({\color{red}{(a-b)^{3}}}\)⇒\({\color{red}{(a^{2}-b^{2})^{3}}}\)に置き換えること！
・間違えて3乗から先に計算しないこと！
