次の(ア)から(セ)までの空欄に当てはまる\(\displaystyle0\)から\(\displaystyle9\)までの整数を求め、それぞれ解答用マークシートにマークしなさい。また、分数は既約分数として表し、平方根は根号の中にある自然数が最も小さくなるように表すものとする。
(1) \(\displaystyle A=3x+2, B=2x-3, C=x^{2}-7x-9\)であるとき、\(\displaystyle AB-C=(ア)x^{2}+(イ)x+(ウ)\)である。
\(\displaystyle AB-C=(3x+2)(2x-3)-(x^{2}-7x-9)\)
\(\displaystyle AB-C=(6x^{2}-5x-6)+(-x^{2}+7x+9)\)
\(\displaystyle AB-C=\color{red}{5x^{2}+2x+3}\)
(2) 絶対値を含む方程式\(\displaystyle|x^{2}-6x|-2x=0\)の解を小さい方から順に並べると、(エ), (オ), (カ)である。
(i) \(\displaystyle x^{2}-6x\geq0\)、すなわち、\(\displaystyle x\leq0, 6\leq x\)のとき、
絶対値内の式の符号は変えなくて良い！
\(\displaystyle\color{red}{(x^{2}-6x)}-2x=0\)
\(\displaystyle x^{2}-8x=0\)
\(\displaystyle x(x-8)=0\)
\(\displaystyle x=0, 8\)→ここで、値が\(\displaystyle x<0, 6<x\)を満たしているか確認！
(ii) \(\displaystyle x^{2}-6x<0\)、すなわち、\(\displaystyle 0<x<6\)のとき、
絶対値内の符号はマイナスになるので、、式の符号を変える！
\(\displaystyle\color{blue}{-(x^{2}-6x)}-2x=0\)
\(\displaystyle-x^{2}+6x-2x=0\)
\(\displaystyle x^{2}-4x=0\)
\(\displaystyle x=0, 4\)
(3) 1個80円の品物Aと1個50円の品物Bを合わせて60個買い、100円の箱に詰めてもらう。品物代と箱代の合計金額を3500円以上4500円以下とするとき、品物Aの個数は(キ)(ク)個以上(ケ)(コ)個以下である。
品物Aの個数をx個とする。
合計金額は、\(\displaystyle\{80x+50(60-x)+100\}円\)
まず、3500円以上であることから、
\(\displaystyle80x+50(60-x)+100\geq3500\)
\(\displaystyle80x+3000-50x+100\geq3500\)
\(\displaystyle80x-50x\geq3500-3000-100\)
\(\displaystyle30x\geq400\)
\(\displaystyle x\geq\frac{40}{3}\)・・・①
次に、4500円以下であることから、
\(\displaystyle80x+50(60-x)+100\leq4500\)
\(\displaystyle80x+3000-50x+100\leq4500\)
\(\displaystyle80x-50x\leq4500-3000-100\)
\(\displaystyle30x\leq1400\)
\(\displaystyle x\leq\frac{140}{3}\)・・・②
①と②の式の共通範囲は、
\(\displaystyle \frac{40}{3}\leq x \leq\frac{140}{3}\) → \(\displaystyle\color{red}{13}.33,,\leq x \leq\color{red}{46}.66,,\)
よって、14個以上46個以下
(4) \(\displaystyle AB=5, BC=10, ∠ABC=120°\)である三角形ABCがある。この三角形の外接円の半径は\(\displaystyle \frac{(サ)\sqrt{(シ)(ス)}}{(セ)}\) である。
まず、余弦定理より、
\(\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\times AB\times BC\times cos∠ABC\)
\(\displaystyle=5^{2}+10^{2}-2\times 5\times 10\times (-\frac{1}{2})\)
\(\displaystyle=25+100+50=175\)
\(\displaystyle AC=\sqrt{175}=5\sqrt{7}\)
次に、正弦定理より、
\(\displaystyle\frac{AC}{sin∠ABC}=2R\)
\(\displaystyle5\sqrt{7}\div\frac{\sqrt{3}}{2}=2R\)
\(\displaystyle\frac{10\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=2R\)
\(\displaystyle R=\frac{10\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle R=\color{red}{\frac{5\sqrt{21}}{3}}\)
